Revista Quanta

2 de fevereiro de 2023

Kristina Armitage/Revista Quanta

Correspondente Contribuinte

2 de fevereiro de 2023

Há mais de 60 anos, Ralph Fox apresentou um problema sobre nós que assombra os matemáticos até hoje. Sua pergunta é agora frequentemente formulada como a “conjectura da fita fatiada”, que postula que dois grupos de nós aparentemente distintos são, na verdade, iguais. Com sua sugestão de simplicidade elegante no mundo dos nós, tornou-se um dos problemas mais importantes da teoria dos nós. “Isso significaria que o mundo é um pouco mais estruturado do que se poderia esperar de outra forma”, disse Arunima Ray, matemática do Instituto Max Planck de Matemática em Bonn.

Durante décadas, suspeitou-se que um nó específico era uma possível rota para resolver a conjectura. No entanto, num artigo publicado no verão passado, cinco matemáticos descobriram que, afinal, este nó não vai funcionar. Embora os argumentos que introduziram forneçam novos insights sobre uma classe mais ampla de nós, o trabalho como um todo deixa os matemáticos incertos sobre a conjectura. “Acho que há uma controvérsia legítima sobre se isso será verdade ou não”, disse Kristen Hendricks, matemática da Universidade Rutgers.

A conjectura da fita-fatia diz respeito a dois tipos de nós: nós de fatia e nós de fita. Descobrir quais nós são fatiados é “uma das questões fundamentais em torno da qual gira nosso assunto”, disse Abhishek Mallick, um dos autores do novo artigo.

Um nó matemático pode ser considerado um laço comum de barbante. Os matemáticos chamam um laço simples sem nó de “desnó”. (Embora este não seja um nó no sentido comum da palavra, os matemáticos pensam no desnó como o exemplo mais simples de nó.)

Os nós também definem o limite de uma forma que os matemáticos chamam de disco, embora nem sempre pareça um disco no sentido comum da palavra. O exemplo mais simples, o nó sem nó, forma o limite de um círculo – um “disco” que realmente se parece com um disco. Mas o laço forma o limite não apenas de um círculo que fica plano sobre uma mesa, mas também de uma tigela – que se estende em três dimensões – que está colocada de cabeça para baixo em cima da mesa. Os discos definidos pelos nós podem ser estendidos de três dimensões para quatro.

Se houver um nó no barbante, os discos ficam mais complicados. No espaço tridimensional, esses discos têm singularidades – pontos onde são matematicamente mal comportados. Os nós de fatia são aqueles para os quais é possível — em quatro dimensões — encontrar um disco sem tais singularidades. Os nós fatiados são “a segunda melhor coisa depois de desfazer os nós”, como disse Peter Teichner, também do Instituto Max Planck.

Apesar disso, os discos delimitados por nós de fatias em três dimensões podem ser feios e difíceis de trabalhar. A conjectura da fatia da fita diz que não necessariamente precisam ser assim.

Nós de fita são nós cujos discos lembram fitas. Em três dimensões, essas fitas podem passar por si mesmas, assim como uma fita comum pode ser puxada através de um corte feito no centro. Matematicamente, tal passagem é chamada de singularidade de fita. Ao contrário de outros tipos de singularidades, a singularidade da fita pode ser facilmente eliminada movendo-se para quatro dimensões. Isso torna mais fácil para os matemáticos mostrar que todos os nós da fita são fatiados.

O inverso – de que cada nó de fatia também é uma fita – é a conjectura da fatia-fita, que tem sido uma questão em aberto há décadas. (Para complicar ainda mais as coisas, os nós de fatia têm várias classificações relacionadas, incluindo “fatia suave” e “fatia topologicamente”. A conjectura se aplica apenas ao tipo de nó “fatia suave”, que é o que os matemáticos geralmente querem dizer com “fatia”.)

Para refutar a conjectura, basta encontrar um nó que seja cortado suavemente, mas não uma fita. Durante décadas, os matemáticos estavam de olho em um candidato: o cabo (2, 1) do nó em oito, feito enfiando uma segunda corda ao longo de um nó em oito e depois fundindo as duas cordas para formar um único nó.